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オームの法則(1)

電気回路の基本といわれるオームの法則をとりあげます。

オームの法則 E=IR は学校で習いましたが、イメージしにくい法則のような気がします。ここではイメージでオームの法則を見ていきます。

まず電圧、電流をイメージするために、電流→水流 つまり電気回路を水の流れでとらえてみようと思います。
ele2_1.jpg
上の図に示したように、

丘の上に池があり、池の標高が電圧、下から上の池まで水をくみ上げるポンプ小屋が電源、上の池から下に水を落とす水路が抵抗器水路の幅が抵抗値と結びついている

といった感じのイメージです。

なお、水路の幅と抵抗値は逆数の関係で、

幅が広い→抵抗値低い(水流(=電流)が多い)
幅がせまい→抵抗値高い(水流(=電流)が少ない)

となります。
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オームの法則(2)

(1)でのイメージ図を使って説明を続けます。

例えば、電圧 E=1V を一定にして(仮に 1V を標高 1m にします)、抵抗の値を2倍、半分にしてみます。(仮に、水路の幅 1m を抵抗値 1Ω、そのときの水量を1ℓ→1A とします)

ele2_2.jpg

水路の幅と抵抗値の関係が逆数であることに注意すれば、水量(=電流)が倍、半分になるのがイメージできると思います。

オームの法則(3)

次に抵抗値 R を一定にして、電圧 E を2倍、半分にした場合です。

電圧 E を変えるということは、池の高さを変えることになりますが、ここで、

池の高さを変えるときは、池の高さ 1m のときの水路を長さ・幅とも拡大・縮小する

というルールを設けます。このルールはコピーや印刷の拡大・縮小と同じです。

ele2_3.jpg

ここで水路の幅は変わりますが、抵抗値は変わらないことに注意してください。つまり、池の高さ 1m のときにいろいろな幅の水路(=抵抗器)を用意しておき、そこから拡大・縮小することであらゆる高さの池に対応すると考えるということになります。

合成抵抗とは?(1)

桜がさき始めたそうです。一日でも早く暖かくなってほしいところです。


オームの法則(1)で使ったイメージを使って、合成抵抗を説明したいと思います。
(理論式は Wikipedia の直列回路と並列回路を、公式の算出は合成抵抗の公式
参考になるかと思います)

合成抵抗とは、

複数の抵抗で表された回路部分を一つの抵抗に置き換えた時の抵抗

のことです。
合成抵抗には、並列接続直列接続の2つがあります。
それぞれについてみていきたいと思います。

並列接続
並列接続とは、抵抗の2つの端子をそれぞれ接続するやりかたです。
例えば、以下の例で考えてみます。
ele2_4.jpg
左側の図では2Ωの抵抗器と8Ωの抵抗値の2つの端子をそれぞれ接続し、
さらに2Vの電源にも接続している並列接続の例です。

ここで右側の図を見てください。
1.6Ωの抵抗器が1つあるだけの回路ですが、赤字で書いた電圧(2V)と電流(1.25A)は
同じになります。このように2つ以上の抵抗器を1つの抵抗器で表してしまうことを
合成抵抗で置き換えると言います。
この例の場合、合成抵抗は1.6Ωとも言います。

合成抵抗とは?(2)

東北高校負けてしまいました。彼らの頑張りに心よりの感謝を送ります。


合成抵抗並列接続の続きです。

さて、(1)の回路図をイメージで確かめてみましょう。

オームの法則(3)で少し紹介しましたが、初めは標高 1m(=電圧 1V)から始めます。
1m でのイメージから池の高さを 2m(=2V)にする必要がありますので、水路全体を
200%拡大
します。これにて得られたイメージが(1)の回路図の左側の状態です。

並列接続の場合、2つの抵抗の両端にかかる電圧は同じ、つまり同じ高さの池から水が
流れ落ちる
ことが特徴です。
ele2_5.jpg

ここから、合成抵抗を求めます。
並列接続の場合は水路をくっつければ一つになります
なお、合成抵抗の抵抗値を求めるときには、1V(=1m)の状態に戻したときの
水路の幅の逆数
で求めます。
ele2_6.jpg

合成抵抗とは?(3)

月日の経つのは本当に早いですね。今年もあっという間に4月になりました。


並列接続に続いて、直列接続に移ります。

直列接続
直列接続とは、抵抗を数珠つなぎに接続するやりかたです。
例えば、以下の例で考えてみます。
ele2_7.jpg
左側の図では2Ωの抵抗器と10Ωの抵抗値を縦に数珠つなぎし、3Vの電源に
接続している直列接続の例です。合成抵抗で表現した場合を右に示します。

さて、イメージに進みます。
直列接続の場合、水路を縦積みしますので、2つの水路をつなぐ部分の幅は
同じになるようにしなければなりません

(でなければ、つなぐ部分から水が外に漏れます)
従って、1V→1m のときのそれぞれの幅から同じ幅になるように拡大・縮小します

今回の例では、抵抗値が2Ωと10Ωですので、まず、10Ω→1/10=0.1mの水路を
5倍拡大したものを考えて、2Ω→1/2=0.5mの水路と接続します。
このとき、10Ω→0.1m*5=0.5m の水路の高さは 5m になりますので、
2Ω=0.5m の水路を縦積みすると全部で 1m+5m=6m→6V になります。
今回接続する電源は 3V と 6V の半分ですので、6m の水路をさらに 50% 縮小します。
こうすると水路の幅は 0.5m/2=0.25m となりますので、
水量(=電流)は 0.25m→0.25A となります。
ele2_8.jpg
合成抵抗を求めるには、それぞれの抵抗値を足すだけと簡単です。

イメージから合成抵抗を求めるには、並列接続と同じように
1V→1mに戻すことで求める
ことができます。
今回の例では、1V→1mのときの水路の幅が、0.25/3=1/4/3=1/12 になりますので、
合成抵抗値は逆数の 12Ωとなります。

容量とは?(1)

抵抗器の次は容量コンデンサ)に移ります。

容量コンデンサ)は意外とイメージしにくい素子です。試に、辞書で引いてみると、

静電容量キャパシタンス(どのくらい電荷が蓄えられるかを表す量))により電荷(電気エネルギー)を蓄えたり、放出したりする受動素子

となっています。実際これだけなのですが、インピーダンス Z=1/jωC あたりから見たくない素子になります。ここでは、イメージを重視した説明で容量を理解することに挑戦したいと思います。

まず、イメージをわかりやすくするために容量素子を以下のようなものに置き換えます。

ele3_1.jpg
オームの法則のときと同じく電流→水流に置き換えます。容量自体は水(=正電荷正孔ホールをためる容器2つになります。容器には水を出し入れするためのホースがついており、ホースには出し入れする水量(=電流量)を調整できるがついています。(実際にはこの弁は電源などが持っていますが、わかりやすくするためにここにつけます)容器にはどれだけ水がはいっているかを表す目盛がついており、単位はVです。これにより、

上側に入っている水量 → 容量にたまった電荷量
上側の目盛の値 → 容量の両端にかかっている電圧

を表すことになります。

なお、上下2つの調整弁にはある働きがあります。それは、上の弁がある水量を上の容器に入れる(出す)ときには、下の弁は同じ水量の水を下の容器から出す(入れる)ように調整するというものです。

あと容量値ですが、これは容器の長さになります。つまり、容量が大きい=容器が大きい、です。目盛の縮尺は変わりませんので注意してください。
ele3_2.jpg

容量とは?(2)

(1)で見てきたイメージ図を使って、容量のいろいろな動作を見てみます。

まず、直流電源をつないだ時です。

始め、2つの容器の目盛が 0V の状態から 3V の直流電源をつないだとします。この場合、上の容器に水を入れて目盛の 3V のところまで水量を増やします下の容器については (1)で触れたとおり、同じ水量の水を出して -3V のところまで水量を減らします
ele3_3.jpg
ここで、上下の容器の間にはホースがないので水(=電流)は流れません。しかし、上下の調整弁の働き(上下のホースに同じ水量を流入・流出を逆にして流す)により、ホースだけに注目すると、あたかも上下のホースがつながってそこを水(=電流)が通っているように見えます。これを、容量に電流が流れると言います。
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容量とは?(3)

次に一定の電流を容量に加え続けた場合です。

イメージでは、上の容器に一定の水量(=電流)を入れ(出し)続けた場合に相当します。この時、容器内の水量は徐々に増えて(減って)いく、つまり容量の両端にかかる電圧は徐々に増えて(減って)いきます。これを、横軸を時間としたグラフにすると以下のようになります。
ele3_4.jpg
ここで、容器に入れる水量(=電流)は変えずに、容器の大きさ(=容量値)を2倍、半分にしたとき、上のグラフはどうなるか?を考えます。目盛の位置は変わりませんから、入れる水量を変えないならば、容器内の水の増え方は逆に半分、2倍になります。グラフ上は電圧 V の傾きが半分、2倍になります

ele3_5.jpg
もうひとつ、容器の大きさ(=容量値)を2倍、半分しても、容器の水量の増え方(=電圧の変化)は変えずにしたい場合、
上のグラフはどうなるか?
を考えます。これを行うには、入れる水量(=電流量)を変えるしかありません。容器の大きさ(=容量値)が2倍、半分になるなら、入れる水量(=電流量)も2倍、半分とします。グラフ上は電流 I の値が2倍、半分になります。電流一定のときと逆の関係になりますので注意してください。

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容量とは?(4)

ここまでは、直流電圧直流電流を考えました。次にいよいよ交流電圧交流電流に移ります。といっても(3)での内容を応用するだけで交流信号に対応できます。

交流信号といえばサイン波正弦波)ですが、曲線ではわかりづらいので三角波から始めたいと思います。
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容量の両端に上に示した三角波と呼ばれる形の交流電圧がかかったとします。このとき、容量に流れる電流はどのようになるでしょうか?

三角波は、以下に示す青と赤の領域が交互に登場する波形となっています。さらに、青、赤それぞれの領域を見ると、「一定の電流を加え続けた場合」で出てきた電圧波形と同じです。従って、容量に流れる電流は「一定の電流を加え続けた場合」の電流波形を並べたものになります。
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容量とは?(5)

さて、サイン波三角波に置き換えましたが、さすがにやりすぎ感があります。そこで、もうちょっとサイン波近づけるために、
直線の傾きの種類を4種類に増やしてみます傾きと電流の関係に注意して並べれば電流波形が得られます。
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さらに傾きの種類を6つにしてみます
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さらに傾きの種類を…と細かくしていけば電圧がサイン波正弦波のときの電流波形が得られます。6つのときから予想できるように、

電流波形は電圧の位相より90度進んだコサイン波

になります(ただし、電圧と電流の振幅は同じではありません)。
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容量とは?(6)

先回、容量の両端に加える(印加するといいます)電圧がサイン波であるときの電流波形はコサイン波(位相が90度進む)になることを見ました。

次に、

印加する電圧波形(サイン波)を変えずに、容量値を2倍、半分にすると
流れる電流の大きさ(振幅)がどうなるか?


を考えます。

サイン波を直線(三角波など)で置き換えれば、この問題は「電圧一定で容量値を変えた場合」と同じになります。ということで、電流の振幅も2倍、半分になります。(容量値と電流の振幅は比例の関係です)

ele3_12.jpg

なお、この問題はCMOSアナログ回路によく見られる

寄生容量が大きいとそこに流れる電流が大きくなり、回路の周波数特性が悪化する

という現象につながります。

容量とは?(7)

もう一つ重要な問題に、容量値と印加する電圧の振幅は変えずに、サイン波電圧の周波数だけを2倍、半分にしたとき容量を流れる電流の大きさ(振幅)がどうなるか考えます。

周波数を2倍、半分にするということはある時間に含まれる波の数を2倍、半分にするということです。これを直線で考えるならば、三角の直線の傾きを2倍、半分にすることと同じになります。したがって、電流の振幅も2倍、半分になります。(周波数と電流の振幅は比例の関係です)
ele3_13.jpg

この性質は回路の周波数特性を考える上での基本になります。

容量とは?(8)

これまで数回にわたり、

交流電圧を容量に印加したとき、容量に流れる電流について3つの重要な性質

を見てきました。ここでまとめて再掲します。

1.サイン波電圧を容量に印加した場合、流れる電流波形はコサイン波になりますつまり、電流波形の位相は電圧波形の位相より90度進みます

2.容量に印加するサイン波電圧を変えないで、容量値を2倍、半分にすると、流れる電流の振幅も2倍、半分になります(容量値と電流の振幅は比例の関係)

3.容量値と容量に印加するサイン波電圧の振幅を変えないで、電圧の周波数を2倍、半分にすると、流れる電流の振幅も2倍、半分になります(電圧の周波数と電流の振幅は比例の関係)

容量とは?(9)

最後に、インピーダンス Z=1/jωC に登場してもらいましょう。

インピーダンスは、おおざっぱに言って、 位相のずれも表現できるようにした抵抗値のことです。 抵抗値ですから、オームの法則 E=IR ならぬ E=IZ が成り立ちます。 (位相のずれを表現できない普通の抵抗値 R と区別するためにインピーダンスは Z を使います) つまり、容量についてのオームの法則は E=I/jωC となるわけです。 これだと分かりにくいので I=jωCE と書き直してみると、 この式 I=jωCE が表している電流 I と電圧 E との関係は、

電流の位相が電圧の位相より90度進むことを表します
  (このjはj2=-1 である虚数のことです。電流をiと表記するためjを使います)

ω角周波数 ω は周波数 f との間に ω=2πf の関係があります
 つまり、周波数 f と電流の振幅は比例の関係であることを表します

C容量値 C と電流の振幅は比例の関係であることを表します

であり、(8)で見た3つの性質とつながります。

インピーダンスも抵抗値のようなものと書きましたが、 これは容量を抵抗のように表せることを意味します。 インピーダンスは位相のずれを j だけで表しますので、 容量を抵抗と見なしたときの抵抗値は残りの 1/ωC=1/2πfC となります。 抵抗器と違い、抵抗値が容量の両端にかかる交流信号の周波数に反比例します。

例を挙げますと、容量値を C=1μF=10-6F, 交流信号の周波数を 10kHz とした場合、 容量は交流信号から見ると 1/2/3.14/10-6F/104Hz=15.92Ωの抵抗のように見える ことになります。

合成容量とは?(1)

合成容量とは、合成抵抗と同じく

複数の容量(コンデンサ)で表された回路部分を一つの容量(コンデンサ)に置き換えた時の容量値

のことです。合成容量にも、並列接続並列接続の2つがあります。それぞれについてみていきたいと思います。(理論式は Wikipedia の直列回路と並列回路を、公式の算出は合成容量の公式が参考になるかと思います)

並列接続
並列接続とは、容量の2つの端子をそれぞれ接続するやりかたです。例えば、以下の例で考えてみます。
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左側の図では2μFの容量と3μFの容量の2つの端子をそれぞれ接続し、さらに2Vの電源にも接続している並列接続の例です。

並列接続では、それぞれの容量値を足した値が合成容量値になります。イメージにて容量が水(正電荷)を入れる容器としているので理解しやすいと思います。

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並列接続は、増幅回路の周波数特性の基本の理解になくてはならない考え方です。

合成容量とは?(2)

次に直列接続に移ります。

直列接続
直列接続とは、容量を数珠つなぎに接続するやりかたです。例えば、以下の例で考えてみます。
ele3_16.jpg
左側の図では2μFの容量と3μFの容量を縦に数珠つなぎし、5Vの電源に接続している直列接続の例です。合成容量で表現した場合を右に示します。

容量の直列接続のイメージは少々厄介です。水(正電荷)の入った容器を縦に積むことになりますが、合成容量については以下の5つの手順を踏むことで 1.2uF と求めることができます。

1.真ん中の2つの容器(赤色の容器)をつなぐパイプ(赤のパイプ)は2つの容器以外につながっていないため、赤色の容器の間でしか水が移動できません
2.3μFの容器の目盛が2Vだったとすると、1.の働きで上の2μFの容器の目盛は3Vになります(長さ3×2V=長さ2×3V)
3.3μFの容量の目盛が2V、2μFの容器の目盛が3Vなので、4つの容器で2+3=5V分の水を蓄えていると考えられます
4.合成容量とは、この4つの容器の水の増え方を2つの容器だけで説明することです
5.4つの容器の一番上の容器には長さ2×3V=6の水が増えていますこれと同じ水の量で、かつ目盛が5Vのところにある容器で表そうとすると、6÷5V=1.2uFの長さの容器になります

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直列接続は少し難しいですが、これが理解できると難しい回路を単純化することに役立ちます。(例えば、ミラー効果の説明など)

RCフィルタとは?(1)

抵抗容量が終わりましたので、次にRCフィルタに移ります。
ここでいうRCフィルタとは抵抗器1つと容量1つからなるパッシブフィルタのうち、ローパスフィルタと呼ばれるもののことです。この回路はシンプルですが、CMOS デジタル・アナログ回路設計においてとても重要です。それぞれについて順に見ていきます。
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直流電圧源と直列接続の充放電特性
CMOS デジタル回路のスピードの基本である充放電特性を見てみます。(抵抗が ON した MOSトランジスタ、容量は MOS トランジスタの寄生容量、 直流電圧源は VDD, VSS です)

まず、充電を考えます。
容量の両端に電荷がない状態から、スイッチをONにして直流電圧源(例えば 3V)をつなぎます。この時、容量の両端の電圧はどのように変化するでしょうか?オームの法則(1)容量とは?(1)で見たように、電流=水流、抵抗器=水路、容量=水を入れる容器ですので、充電の様子は水路で容器に水を入れる様子に例えられます

ele4_2.jpg

RCフィルタとは?(2)

(1)で、充電の様子は水路で容器に水を入れる様子に例えました。ここで、抵抗器=水路には一つ決まりがあったことを思い出してください(オームの法則(3))。

抵抗器にかかる電圧=水路の高さが低くなると、抵抗器=水路の幅は縮小する

つまり、容量=容器 に水がたまる(=容量の両端の電圧が上がる)と、抵抗器にかかる電圧は小さくなるため、水路の幅は細くなり電流量=水量が減ります。そして、容器の目盛=容量の両端にかかる電圧と電源電圧の値が同じになると、抵抗器にかかる電圧はゼロ=水路の幅も水量もゼロとなって、充電=水の追加が終わります。

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RCフィルタとは?(3)

(2)までで充電特性をイメージで追ってきました。ここで時間を横軸、容量の両端の電圧の変化を縦軸としてこれまでのイメージををグラフにします。すると、ステップ応答と呼ばれるグラフが得られます。
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出力電圧 Vout ははじめ電流量=水量が多いため早く電圧が立ち上がりますが、電流量=水量が徐々に減っていくため電圧の変化も徐々にゆっくりになっていきます。

さて、ここで容量値を変えずに抵抗値を2倍、半分にしたらグラフがどうなるか考えます。抵抗値は水路の幅と逆数の関係ですので、抵抗値が2倍、半分になると初めの水路の幅は半分、2倍になります。これより水の量が半分、2倍から始まりますので、充電の時間も半分、2倍になります
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今度は抵抗値を変えずに容量値を2倍、半分にしたときのグラフを考えます。容量値は容器の長さでしたので、容量値が2倍、半分になると容器の長さも2倍、半分になります。初めの水路の幅、つまり初めの水の量は変わりませんので、充電の時間は2倍、半分になります
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