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アナログ回路の基礎(1)

ここから、CMOSアナログ回路に入っていきます。

まず、そもそもアナログとは?から見ていきます。Wikipedia を見ると、

アナログは、連続した量(情報)を他の連続した量(電圧・電流など)で表示すること

とあり、アナログとよく対比されるデジタルを同じく Wikipedia で見ると、

デジタルは、状態を示す量を離散化(連続した量を一定の間隔ごとに表現(サンプリングと言います)する事)、量子化(基本単位の整数倍で表現する事)して処理を行う方式

となっています。つまり、アナログは自然界に存在するそのままの形で表現する事、(アナログの場合、なぜサイン波で記述するのかについては、なぜサイン波?を参照ください)デジタルは処理しやすいように時間軸も電圧(電流)軸も簡略化して表現する事となります。例として、振幅が10のサイン波をアナログとデジタルで表現すると以下のようになります。

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デジタルではさらに2進法を使って、量子化した情報を0と1で表現します。
電子回路では0をVSS, 1を VDD に割り当てます
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アナログ回路の基礎(2)

次に、アナログ回路とは?です。

電気信号としてアナログ信号とデジタル信号があることを見ました。
回路には入力信号と出力信号があるため、それだけで回路の種類が4つできます。
結論から言うと、

入力も出力もデジタル信号の時だけがデジタル回路であとはアナログ回路

となります。

ele9_2.jpg

入力がアナログで出力がデジタルの代表が ADC(Analog to Digital Converter)、
入力がデジタルで出力がアナログの代表が DAC(Digital to Analog Converter)です。

アナログ回路の基礎(3)

さらに進みます。
今度はアナログ回路の理論の基本となる考え方です。

アナログ回路が処理するアナログ信号(電圧、電流)ですが、時間によらず値が変わらない
直流成分(DC)と呼ばれるものと時間とともに値が変わる交流成分(AC)と呼ばれるものに
分けて考えることができます。なお、直流成分はバイアスと呼ばれることもあります。

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アナログ信号を直流成分と交流成分に分けることにより、回路特性を理解する方法も
2つに分かれます。

(1)直流成分と交流成分を区別せずに考える
 要するに、ある入力電圧に対してどのような出力電圧になるか?をそのまま
検討する方法です。理論計算は MOSトランジスタの動作(9)(10)に登場した
数式を使って計算します。教科書では大信号解析と呼ばれることもあります。
シミュレーションでは DC 解析がこれに該当します。

アナログ回路の基礎(4)

(2)直流成分と交流成分を区別して考える
 CMOS アナログ回路を設計する上で避けて通れない小信号解析
シミュレーションの AC 解析はこちらになります。

 順を追って詳細に見ていきます。

 まず、入力信号を直流成分と交流成分に分けたとして、
回路の出力はどのように考えたらいいのだろうか?という疑問が出てきます。
これの答えとなるのが、重ね合わせの原理です。重ね合わせの原理を使うと、

入力信号を直流成分と交流成分に分けた場合、
入力信号がそれぞれのみの場合の回路の出力信号を考え、
それらを足し合わせたもの最終的な回路の出力信号となる

となります。要するに、

直流成分と交流成分を別々に考えて、最後に足し合わせればいい

ということです。この性質により、アナログ回路設計は直流成分の設計と
交流成分の設計に分かれることになります。

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アナログ回路の基礎(5)

(2)直流成分と交流成分を区別して考える の続きです。

直流成分の設計はバイアス設計とも呼ばれ、交流成分がない=無信号の時の回路設計となります。この設計を間違えると、一般的にアナログ信号と呼ばれる交流成分の入出力が
正常にできなくなります(クリップにより変形するなど)。

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なお、バイアス設計では、基準電圧と呼ばれる直流電圧が必要になることがほとんどです。電源電圧が対称な正負電源(±3Vのような)の場合は、基準電圧は真ん中の0Vにしますが、電源が1つしかない単電源の場合は、基準電圧を電源電圧の半分の電圧(電源が 5V なら基準電圧は 2.5V)にしたり、バンドギャップレファレンス回路出力の~1.2Vにしたりします。

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このようにICによって基準電圧が違うため、違うICをそのまま接続できない可能性があります。この場合、2つの回路の間に容量を挟みます。容量は直流成分を通しませんが、交流成分は通すため、基準電圧が違っていても、交流成分=アナログ信号を確実に渡すことができます。

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アナログ回路の基礎(6)

(2)直流成分と交流成分を区別して考える の最後です。

次に、交流成分の設計です。私たちがアナログ設計と呼ぶものの大部分はここになります。
CMOS アナログ回路の場合、アナログ設計=増幅回路(オペアンプとは?(1))の設計と
考えてもよいため、通常入力信号は数 mV と小さな電圧です。
この入力信号が小さいという条件を入れると、複雑なMOSの電流特性(MOSトランジスタの動作(9) (10)を簡単なモデルに置き換えることができます(実際の小信号等価回路(4))。
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この簡単なモデルを使って、回路を解析することを小信号解析、解析に使う回路を小信号等価回路と呼びます。小信号等価回路は交流成分のみの(直流成分がない)ため、初めて見るとわけのわからないものに見えます(少なくとも私はそうでした)。

これから、順を追ってCMOSアナログ回路の基本である小信号解析についてみていきます。

アナログ回路の基礎(7)

最後に、回路を理解する際に登場する入力インピーダンス出力インピーダンスについて触れます。

(1)入力インピーダンス
 回路が入力信号を受ける際、回路側が持っている抵抗成分のことです。
抵抗成分の値は、回路を入力側から見たとき、対 GND(正確にはDC 電圧固定とみなせる端子=接地点に接続されていると考えられる抵抗成分の総和になります。

例えば、反転増幅回路の入力インピーダンスは、入力端子に接続されている抵抗値そのもの(オペアンプの入力は仮想接地=DC 電圧固定とみなせる)となりますし、非反転増幅回路の入力インピーダンスは、入力端子が MOS のゲート端子に接続されている(=抵抗成分はなく、微小な容量成分しか見えない)ので高抵抗(>1MΩ)になります。

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なお、上図の理想増幅器ですが、入力された信号の振幅を理論計算通りに変化(=増幅)させることができる回路という意味で使用しています。

アナログ回路の基礎(8)

(2)出力インピーダンス
 入力インピーダンスとは逆に、回路で外部に電圧を出力する時、回路側が持っている抵抗成分のことです。抵抗成分の値は、出力端子から回路を見たときに見える抵抗成分の総和になります。

 出力インピーダンスは抵抗成分の表記が見かけどこにもないことが多く、入力インピーダンスよりイメージしにくいものです。そこで、実際の測定方法を通して説明します。

 まず、回路の出力端子に抵抗や回路を何もつけない状態(=無負荷)での出力端子の電圧振幅を測定します(例えば 1.2V とします)。次に、抵抗の値が分かっている抵抗器(例えば 1kΩとします)を出力端子とGNDの間に挿入して再び出力端子の電圧振幅を測定します。回路が出力することのできる電流量は無限ではないため(回路の出力できる電流量は駆動電流駆動能力という用語で定義されています)、抵抗器を接続した場合の出力端子の電圧振幅は無負荷のときより小さくなります(例えば 1V になったとします)。

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この現象を説明するために、以下のような考え方を導入します。

回路には 1.2V の理想電圧源があり、1.2V を出力する能力を持っているが、理想電圧源と出力端子の間に 200Ωの抵抗成分が挟まっており、1kΩの抵抗を負荷として接続すると、出力端子の電圧は 1kΩとの分圧により 1V になってしまう。

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ここで登場した 200Ωの抵抗成分が出力インピーダンスです。

なお、上記の理想電圧源ですが、どのような状況に置かれても振幅を理論値通りに出力できる回路のことです。

アナログ回路の基礎(9)

この入力インピーダンス、出力インピーダンスを定義すると、回路の入出力電圧を正確に
検討することができます
。下図に示した通り2つの回路を接続する際、前段回路の出力
電圧は前段回路の出力インピーダンスと後段回路の入力インピーダンスによって
分圧される
ことになります。

これにより、出力電圧をできるだけ正確に(=小さくなることなく)後段回路に渡すためには、

出力インピーダンスはできるだけ小さく
入力インピーダンスはできるだけ大きく


する必要があります。

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gmとは?(1)

ここから小信号等価回路について見ていきます。

MOSトランジスタの動作(9)(10)(14)で、MOS トランジスタの電流特性が以下のグラフになることを見てきました。
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しかし、上のグラフはすべて“曲線“であるため、計算をしようとすると非常に複雑になります。そこで、アナログ回路の基礎(6)で説明したように、入力信号は小さいとの条件を入れて、かつ、直流成分を分離することにより、すべて”直線“で近似できる(オームの法則と同じ形にできる)としてしまいます。

その流れを順に追っていきます。

gmとは?(2)

gm とは?

NMOS トランジスタでゲート電圧 Vgs を変えたときに得られたグラフを考えます。
ここで、ドレイン電圧は固定電圧(ここでは仮に3V とします)とします。
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Vgs がしきい値電圧 Vth 以上であるとして、
「Vgs は非常に小さい範囲の信号だけを考える」
との条件を入れます。この場合、上記のグラフはどうなるでしょうか? 
例として、Vgs は 2V±0.01V の範囲だけ考えた場合を見てみます。
(MOSトランジスタの動作(9)で触れたとおり、アナログ設計では飽和領域にて
MOSトランジスタを使用します)

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このように Vgs を 2V±0.01V の範囲に限定すると、グラフはほとんど直線に見えます。
このとき、この直線の傾きをトランスコンダクタンスと言い、gm(ジーエムと読みます)
という記号で表します。

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上の例では gm は 0.001 と計算できます。なお、単位は“S(ジーメンス)”です。
また上の式を変形すると、ΔIds = gm×ΔVgs という式が得られます。
ちなみに、この式は ΔVgs=1/ gm×ΔIds と書くとオームの法則 E=RI と同じ形です。
直流成分(2Vと48uAを分離したグラフにするとイメージしやすいかもしれません。

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gmとは?(3)

次に、この gm を使って Vgs が 2V±0.01V の範囲でのトランジスタの動作を表すことを考えます。

まず gmとは?(2)のグラフから、Vgs = 2V の状態では NMOS トランジスタの電圧、電流は以下のようになっています。

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次に、例えば Vgs = 1.99V , Vgs = 2.01V の時は以下の通りです。

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この Vgs = 1.99V ,Vgs = 2.01V の時の Ids“Vgs = 2V から変化した“という形で書き直す(つまりVgs = 2V を直流成分とする)と、電流源を使って以下のように表すことができます。なお、電流値がマイナスというのは、実際の電流の向きが矢印の方向と逆ということを表しています。

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gmとは?(4)

gm のお話を続けます。

Ids の変化量を表す ΔIds は Vgs が変化したために発生しているので、 Vgs の変化量を
ΔVgs と表記し、以下に示す形の記号を用いて、ΔVgs により ΔIds が発生していることを強調します。

こうするとグラフから得られた gm を使うことができ、また ΔIds = gm ×ΔVgs という式をそのまま使うことができます。

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さて前の図で、以下の構造は2つとも同じです。

ele9_22.jpg

つまり、この部分は直流成分ということになるので、前の図から分離=省略します。
アナログ回路の基礎(4)参照ください)
すると、Vgs = 1.99V , Vgs = 2.01V の時の回路として以下の部分(交流成分)が残ります

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ここで残った回路は小信号等価回路のうちで Vgs-Ids 特性に関する部分ということになります。この小信号等価回路は Vgs が 2V±0.01V の範囲にあればどの値の ΔVgs でも同じ形のものが得られます。つまり、一般的に以下のように表すことができます。

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なお、Vgs= 1V や Vgs = 2.5V の時でも gm を求めるところから始めれば、まったく同じ形の小信号等価回路を得ることができます。

gmとは?(5)

また、PMOS トランジスタの場合でも小信号等価回路はまったく同じ形です。

ただし、ΔVgs, ΔIds の符号の向きが NMOS トランジスタの時とさかさま
あるところだけが違います。
(NMOS トランジスタの時と同じ方法で以下の小信号等価回路を導き出せます)

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gmとは?(6)

最後にgm と W, L, Ids との関係を見ていきます。

gm は数学的には Ids の Vgs による偏微分(=グラフ上の接線、傾き)になるため、
MOSトランジスタの動作(10)の式を使うと以下のように表せます。

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つまり、

W に比例
Lに反比例
Ids には平方根に比例

となります。

W や L の関係は Ids との関係と基本的に同じ(Ids が増減すれば、グラフの傾きである gm も同じように増減する)です。W, L, Vgs を固定して、Ids のみを増減(ドレインに流す電流量を変える)する場合も平方根がつきますが、イメージは同じです。

ドレイン抵抗とは?(1)

ドレイン抵抗 rd とは?

次に NMOS トランジスタでドレイン電圧 Vds を変えたときに得られたグラフを考えます。
ここで、ゲート電圧は固定電圧(ここでは仮に2Vとします)。
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gm の時と同じように、Vds を例えば 3V±0.1V に限定すると、グラフはほとんど直線に
なります。ただし、Vds を変えた時のグラフはある電圧(アナログ回路ではオーバー
ドライブ電圧
Vov といいます)以上であれば、ほぼ直線なので、Vds を更に大きく
変化させても直線のままとなります。

ele9_29.jpg

ここで、この直線の傾きの逆数ドレイン抵抗といい、rd (または、ro) という記号で表します。

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上の例では rd は 1MΩ と計算できます。
また上の式を変形すると、オームの法則と同じΔVds=rd×ΔIdsとなります。
直流成分(3Vと48uA)を分離したグラフにするとイメージがしやすいかもしれません。

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ドレイン抵抗とは?(2)

次に、この rd を使って Vds が 3V±0.1V の範囲でのトランジスタの動作を表すことを考えます。

gm の時と同じように、まず Vds = 3Vでの状態を考え、次に Vds = 2.9V , Vds = 3.1V の時のIds を、“Vds = 3V から変化した“という形で書き直す(つまり、Vds=3Vを直流成分とする)と、 ドレイン抵抗 rd とVdsの変化量 ΔVdsを使って以下のように表すことができます。なお、電流値のマイナスについては gm の時と同じく、実際の電流の向きが矢印の方向と逆ということです。
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この2つの図で、以下の構造は2つとも同じ=直流成分なので、
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gm の時と同じように“省略“すると(アナログ回路の基礎(4)参照)、
Vds-Ids 特性に関する小信号等価回路が得られます。
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この小信号等価回路は Vds が3V±0.1V の範囲(実際は Vdsが Vov 以上)にあればどの値の Vds でも同じ形のものが得られます。つまり、一般的に以下のように表すことができます。
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ドレイン抵抗とは?(3)

また、PMOS トランジスタの場合でも小信号等価回路はまったく同じ形です。
ただし、ΔVds, ΔIds の符号の向きが NMOSトランジスタの時とさかさまで
あるところだけが違います。
(NMOS トランジスタの時と同じ方法で以下の小信号等価回路を導き出せます)
ele9_36.jpg

ele9_37.jpg

ドレイン抵抗とは?(4)

最後に rd と W, L, Ids との関係を見ていきます。

rd は数学的には Ids の Vds による偏微分(=グラフ上の接線、傾き)になるため、
2次効果とは?(2)での式を使うと以下のように表せます。

ele9_38_3.jpg

つまり、

W に反比例
Lの2乗に比例
Ids に反比例


となります。W や L の関係は Iddsとの関係と基本的に逆です。
(Idds が増えれば、グラフの傾きの逆数である rd は逆に減少する)
W, L, Vds を固定して、Ids のみを増減(ドレインに流す電流量を変える)する場合も、
イメージは同じです。

なお、このドレイン抵抗と W,L,Ids との関係を抑えることは、
アナログ回路の基本である増幅回路の特性を理解する上でとても重要
です。

実際の小信号等価回路(1)

実際の小信号等価回路

これまで

Vgs のみを変えた時は gm
Vds のみを変えた時はドレイン抵抗 rd

定義することでトランジスタの小信号等価回路を表現することができることを見てきました。

しかし実際の回路では、 Vgs を変えると Vds も同時に変化してしまいます。
そこで、Vgs と Vds が結果として一度に変化するときの小信号等価回路
(通常、小信号等価回路というとこの回路のことを指します)を考える必要があります。

といっても話は難しくなく、Vgs と Vds が一度に変化する際は、

Vgs と Vds での変化を別々に扱い、その結果を足し合わせる

で近似します(数学で言うところの全微分です)。
これを回路で表すと、今考えているのが電流の変化量であるため、

それぞれの小信号等価回路を並列接続する

ということになります。
いま何時かにゃ~
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たみひかのろ

Author:たみひかのろ
見にきてくれてありがとう
目標であったオペアンプの設計に6年かけて到達しました。ここからは応用的な内容を書ける限り書いていきたいと思います。

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